Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanB=，點M是AB邊的中點，將△ABC繞著點M旋轉，使點C與點A重合，點A與點D重合，點B與點E重合，得到△DEA，且AE交CB于點P，那么線段CP的長是    ．

Answer 1

【答案】分析：連接PM，根據∠B的正切值設AC=3k，BC=4k，利用勾股定理列式求出k值，得到AC、BC的長，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AM=DM=EM，再根據等邊對等角的性質可得∠EAM=∠E，然后求出∠EAM=∠B，根據等腰三角形三線合一的性質可得PM⊥AB，然后求出△ABC和△PMB相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出PB的長，再根據CP=BC-PB代入數據進行計算即可得解．
解答：解：連接PM，∵tanB=，
∴設AC=3k，BC=4k，
則（3k）²+（4k）²=10²，
解得k=2，
∴AC=3×2=6，BC=4×2=8，
∵點M是AB邊的中點，△DEA是△ABC繞點M旋轉得到，
∴AM=MB=DM=EM=5，
∴∠EAM=∠E，
又∵∠B=∠E，
∴∠EAM=∠B，
∴△APB是等腰三角形，
∵點M是AB的中點，
∴PM⊥AB，
∴△ABC∽△PMB，
∴=，
即=，
解得PB=，
∴CP=BC-PB=8-=．
故答案為：．
點評：本題考查了旋轉的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，作輔助線構造出相似三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．