Question

如圖，△ABC為銳角三角形，P，Q為邊BC上的兩點，△ABP和△ACQ的外接圓圓心分別為O₁和O₂．試判斷BO₁的延長線與CO₂的延長線的交點D是否可能在△ABC的外接圓上，并說明理由．

Answer 1

解：答案是否定的，即BO₁的延長線與CO₂的
延長線的交點D不可能在△ABC的外接圓上．
如圖，設直線BO₁與直線CO₂的交點為D，
則，
同理∠O₂CQ=90°-∠CAQ，
所以∠O₁BP+∠O₂CQ=180°-∠BAP-∠CAQ．
故∠BDC=∠BAP+∠CAQ．
由于點P，Q為邊BC上的兩點，所以∠BAP+∠CAQ≠∠BAC．
因此，點D不在△ABC的外接圓上．
分析：延長線的交點D不可能在△ABC的外接圓上，根據題意可得出∠O₂CQ=90°-∠CAQ，則∠BDC=∠BAP+∠CAQ，由于點P，Q為邊BC上的兩點，所以∠BAP+∠CAQ≠∠BAC．從而可得出，點D不在△ABC的外接圓上．
點評：本題考查了三角形的外接圓與外心，是一道綜合題，難度較大．