Question

如圖，中國人民解放軍空軍某部某進行飛行演習，飛行員駕駛戰鷹掠過某圓形區域點，在演習總部的戰區示意圖上顯示，戰鷹的軌跡為拋物線y=

1

6

x²+bx+c，圓形區域圓心M距指揮中心O距離為4千米、半徑為2千米，圓與x軸交于點A、B．戰鷹從y軸上的C點過來，剛好掠過點A和B．
（1）求點C的坐標，確定戰鷹的軌跡拋物線的解析式；
（2）戰鷹軌跡上有點Q（8，m），點P為此拋物線對稱軸上一個移動觀察哨，求PQ-PA的最大值；
（3）CE是過點C的⊙M的切線，點E是切點，在拋物線上是否存在一點N，使△CON的面積等于△COE的面積？

Answer 1

分析：（1）求拋物線解析式的待定系數，將A（2，0），B（6，0）代入即可；
（2）由拋物線解析式可求對稱軸及Q（8，m）的縱坐標值；由拋物線對稱性可知PQ=PC，在△PAC中，PQ-PA=PC-PA＜AC，最大值為AC；
（3）通過三角形全等求直線CM，OE的解析式，再求點E坐標，過E作y軸平行線，與拋物線的交點即為所求N點．

解答：解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵拋物線y=

1

6

x²+bx+c過點A和B，則

1 6 ×22+2b+c=0 1 6 ×62+6b+c=0

．
解得

b=- 4 3 c=2

．
則拋物線的解析式為y=

1

6

x²-

4

3

x+2
故C（0，2）．（說明：拋物線的大致圖象要過點A、B、C，其開口方向、頂點和對稱軸相對準確）

（2）由拋物線的解析式y=

1

6

x²-

4

3

x+2可求出拋物線對稱軸l是x=4．
當x=8時，y=m=

1

6

•8²-

4

3

•8+2=2．PQ-PA的最大值=AC=2

2

．
（3）如圖②，連接EM和CM．
由已知，得EM=OC=2．
CE是⊙M的切線，
∴∠DEM=90°，則∠DEM=∠DOC．
又∵∠ODC=∠EDM．
故△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．
則OE∥CM．
設CM所在直線的解析式為y=kx+b，CM過點C（0，2），M（4，0），
∴

4k+b=0 b=2

．
解得

k=- 1 2 b=2

．
直線CM的解析式為y=-

1

2

x+2．
又∵直線OE過原點O，且OE∥CM，
則OE的解析式為y=-

1

2

x．
如圖②，連接EM和CM．顯然△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
設OD=x，CD=4-x，可求得OD=1.5，CD=2.5然后求出E點的坐標（2.4，-1.2）．
最后過E點作y軸的平行線與拋物線的交點即為所求．另外在y軸的左側也有一個符合要求．

點評：本題考查了應用二次函數與圓有關知識進行探究綜合的能力．體現了由數形結合的數學思想，既考查了有關計算能力，又包含了二次函數的有關知識，要求學生具備一定的探究能力與對所學知識的整合應用能力．解答本題關鍵是抓住每一種情形中各種量的關系．