Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD=8，BC=12，AB=4．動點E從點B出發，沿射線BA以每秒3個單位的速度移動；同時動點F從點A出發，在線段AD上以每秒2個單位的速度向點D移動．當點F與點D重合時，E、F兩點同時停止移動．設點E移動時間為t秒．
（1）求當t為何值時，三點C、E、F共線；
（2）設順次連接四點B、C、F、E所得封閉圖形的面積為S，求出S與t之間的函數關系（要求寫出t的取值范圍）；并求當S取最大值時tan∠BEF的值；
（3）求當t為何值時，以B、E、F為頂點的三角形是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）依題意得BE=3t，AF=2t，當C，E，F三點共線時，
∵AF∥BC
∴△AEF∽△BEF
∴=即：=；解得t²-6t+8=0，t₁=2，t₂=4
∴當t=2或4秒時，C、E、F三點共線．

（2）當0≤t＜時，S=（2t+12）×4-（4-3t）×2t=3t²+24；
當≤t≤4時，S=（2t+12）×4+12（3t-4）×2t=3t²+24
故當t=4時，S最大為72，此時BE=3t=12，tan∠BEF==1．

（3）當E點在線段AB上時，BE=EF，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
即（4-3t）²+（2t）²=（3t）²，解得t₁=3-，t₂=3+（舍去）；
當E點在線段AB以外時，
若BE=BF，則BE²=BF²，即（3t）²=4²+（2t）²，解得：t=±（舍去負值）；
若BE=EF，則BE²=EF²，即（3t）²=（3t-4）²+（2t）²，解得t₁=3-（舍去），t₂=3+；
若BF=EF時，AB=AE，即4=3t-4，解得t=，
∴t=3-，，3+，秒時，以B、E、F為頂點的三角形是等腰三角形．
分析：（1）當C，E，F三點共線時，△EAF∽△EBC，用t表示相關線段的長，用相似比求t；
（2）分兩種情況，即：點E在線段AB上，點E在線段AB外；根據圖形，分別表示面積及t的范圍；
（3）以B、E、F為頂點的三角形是等腰三角形，有三種可能，即BE=BF，BE=EF，BF=EF，根據圖形特點，結合勾股定理進行計算．
點評：本題考查了相似三角形的實際應用，列分段函數的方法，尋找等腰三角形的條件等知識，充分運用了勾股定理的計算功能．