Question

已知：如圖，正八邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈內接于半徑為R的⊙O．
（1）求A₁A₃的長；
（2）求四邊形A₁A₂A₃O的面積；
（3）求此正八邊形的面積S．

Answer 1

解：（1）∵正八邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈內接于半徑為R的⊙O．
∴∠A₃OA₂=∠A₂OA₁==45°，
∴∠A₃OA₁=90°，
∵OA₃=OA₁=R，
∴A₃A₁===R；

（2）∵∠A₃OA₂=∠A₂OA₁=45°，
∴=，
∴OA₂⊥A₁A₃，
四邊形A₁A₂A₃O的面積為：OA₂•A₃B+OA₂•A₁B=OA₂•A₁A₃=R•R=R²；

（3）∵四邊形A₁A₂A₃O的面積為：R²，∠A₃OA₁=90°，
∴正八邊形的面積S為：×R²=2R²．
分析：（1）根據正多邊形中心角求法得出∠A₃OA₂=∠A₂OA₁==45°，進而得出∠A₃OA₁=90°，再利用勾股定理求出A₃A₁；
（2）利用已知得出OA₂⊥A₁A₃，得出四邊形A₁A₂A₃O的面積為：OA₂•A₃B+OA₂•A₁B進而求出即可；
（3）利用（2）中所求即可得出正八邊形的面積S為：×R²得出答案即可．
點評：此題主要考查了正多邊形和圓的有關計算，根據已知得出中心角∠A₃OA₁=90°再利用勾股定理得出是解題關鍵．