Question

如圖，反比例函數（k＞0）與長方形OABC在第一象限相交于D、E兩點，OA=2，OC=4，連接OD、OE、DE．記△OAD、△OCE的面積分別為S₁、S₂．
（1）①點B坐標為______；②S₁______S₂（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）當點D為線段AB的中點時，求k的值及點E坐標；
（3）當S₁+S₂=2時，試判斷△ODE的形狀，并求△ODE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據OA=2，OC=4可直接得到點B坐標；②根據反比例函k的意義可知S₁、S₂都等于|k|，即可得到答案；
（2）當點D為AB中點時，AD=2，得出D的坐標是（2，2），求出解析式即可；
（3）根據當S₁+S₂=2時，由（1）得出S₁=S₂=1，進而得出BD，BE的長，進而得出DO²+DE²=OE²，△ODE是直角三角形，進而得出三角形面積．
解答：解：（1）①根據長方形OABC中，OA=2，OC=4，
則點B坐標為（4，2），
②∵反比例函數（k＞0）與長方形OABC在第一象限相交于D、E兩點，
利用△OAD、△OCE的面積分別為S₁=AD•AO，S₂=•CO•EC，xy=k，得出，
S₁=AD•AO=k，S₂=•CO•EC=k，
∴S₁=S₂；

（2）當點D為AB中點時，AD=2，
∴D的坐標是（2，2），
把D（2，2）代入y=得：
k=2×2=4，
∴y=．
∵點B坐標為（4，2），
∴E點橫坐標為：4，
∴4×y=4，
∴y=1，
∴E點坐標為：（4，1）；

（3）當S₁+S₂=2時，∵S₁=S₂，
∴S₁=S₂=1，
∵S₁=AD•AO=AD×2=1，
∴AD=1，
∵S₂=•CO•EC=×4×EC=1，
∴EC=，
∵OA=2，OC=4，
∴BD=4-1=3，
BE=2-=，
∴DO²=AO²+AD²=4+1=5，
DE²=DB²+BE²=9+=，
OE²=CO²+CE²=16+=，
∴DO²+DE²=OE²，
∴△ODE是直角三角形，
∵DO²=5，
∴DO=，
∵DE²=，
∴DE=，
∴△ODE的面積為：×DO×DE=××=．
點評：此題主要考查了反比函數的綜合應用以及勾股定理的應用以及三角形面積求法，利用數形結合在一起，得出BD，EB長是分析解決問題的關鍵．