Question

當x分別等于

1

2008

，

1

2007

，

1

2006

，…，

1

2

，1，2，…，2006，2007，2008時，計算代數式

x2

1+x2

的值，再把所得的結果全部加起來．則這個總和為

 

．

Answer 1

分析：本題不可能逐一計算，找出規律是解題的關鍵，經觀察可得，當x的值互為倒數時，代數式的和應為定值，經計算可得

a2

1+a2

+

1

1+a2

=1，故所求代數式的和為2007個1與1個

1

2

的和，故本題得解．

解答：解：當x=a時，

x2

1+x2

=

a2

1+a2

，
當x=

1

a

時，

x2

1+x2

=

1 a2

1+ 1 a2

=

1

1+a2

，
∴當x的值互為倒數時，代數式的和為

a2

1+a2

+

1

1+a2

=1．
∴當x分別等于

1

2008

，

1

2007

，

1

2006

，…，

1

2

，1，2，…，2006，2007，2008時，
代數式的和為：1+1+…+1+

1

2

=2007+

1

2

=2007

1

2

．
故答案為：2007

1

2

．

點評：本題主要考查了學生的分析、總結、歸納能力，規律型的習題一般是從所給的數據和運算方法進行分析，從特殊值的規律上總結出一般性的規律．