Question

通過觀察a²+b²-2ab=（a-b）²≥0可知：

a2+b2

2

≥ab，與此類比，當a≥0，b≥0時，

a+b

2

≥

ab

（要求填寫），你觀察得到的這個不等式是一個重要不等式，它在證明不等式和求函數的極大值或者極小值中非常有用．請你運用上述不等式解決下列問題：
（1）求證：當x＞0時，x+

1

x

≥2；
（2）求證：當x＞1時，x+

1

x-1

≥3；
（3）2x2+

1

x2+1

的最小值是

2

2

-2

．

Answer 1

分析：由（

a

）²+（

b

）²-2

ab

=（

a

-

b

）²≥0，即可得

a+b

2

≥

ab

；
（1）由

a+b

2

≥

ab

，可得a+b≥2

ab

，則可得x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，繼而證得結論；
（2）首先將x+

1

x-1

變形為（x-1）+

1

x-1

+1，然后利用幾何不等式，即可證得結論；
（3）首先將2x²+

1

x2+1

變形為2（x²+1）+

1

x2+1

-2，然后利用幾何不等式求解，即可求得最小值．

解答：解：∵（

a

）²+（

b

）²-2

ab

=（

a

-

b

）²≥0，
即a+b-2

ab

≥0，
∴

a+b

2

≥

ab

；

（1）證明：∵x＞0，
∴x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，
即x+

1

x

≥2；

（2）證明：∵x＞1，
∴x+

1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+1≥2

(x-1)• 1 x-1

+1=2+1=3，
即x+

1

x-1

≥3；

（3）解：2x²+

1

x2+1

=2（x²+1）+

1

x2+1

-2≥2

2(x2+1)• 1 x2+1

-2=2

2

-2，
∴2x²+

1

x2+1

的最小值為2

2

-2．
故答案為：

ab

，（4）2

2

-2．

點評：此題考查了幾何不等式的證明與應用．此題難度適中，解題的關鍵是掌握幾何不等式的應用．