Question

如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為C(1,0)，直線與該二次函數的圖象交于A、B兩點，其中A點的坐標為(3,4)，B點在軸上.（1）求的值及這個二次函數的關系式；（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作軸的垂線與這個二次函數的圖象交于點E點，設線段PE的長為，點P的橫坐標為，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）D為直線AB與這個二次函數圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

 (1) ∵ 點A(3,4)在直線y=x+m上，∴ 4=3+m.  ∴ m=1.  

        設所求二次函數的關系式為y=a(x-1)².             ∵ 點A(3,4)在二次函數y=a(x-1)²的圖象上，        ∴ 4=a(3-1)²,        ∴ a=1.                                

∴ 所求二次函數的關系式為y=(x-1)².    即y=x²-2x+1.                         

(2) 設P、E兩點的縱坐標分別為y_P和y_E .∴ PE=h=y_P-y_E =(x+1)-(x²-2x+1) =-x²+3x.                           

   即h=-x²+3x (0＜x＜3). 

(3) 存在.要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有PE=DC. ∵ 點D在直線y=x+1上,

∴ 點D的坐標為(1,2),∴ -x²+3x=2 .即x²-3x+2=0 .           

解之，得  x₁=2，x₂=1 (不合題意，舍去)   

∴ 當P點的坐標為(2,3)時，四邊形DCEP是平行四邊形.