Question

如圖，△ABC為鈍角三角形（∠A＞90°）
（1）完成下列作圖（用尺規作圖，保留痕跡，不寫作法）：
①分別作AB，AC邊上的高CF，BE；
②在BE上截取BM=AC，在CF的延長線上截取CN=AB，連接AM，AN．
（2）探究：線段AM，AN有什么關系（包括數量和位置關系）？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）基本作圖：過直線外一點作已知直線的垂線；作線段等于已知線段．
（2）根據SAS證明△ACN≌△MBA，運用全等三角形的性質作出判斷．

解答：解：（1）如圖所示．

（2）AM=AN，AM⊥AN．
理由如下：
∵∠NCA+∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°．
而∠CAF=∠BAE，
∴∠NCA=∠MBA．
在△CAN與△MBA中，

CN=AB ∠NCA=∠MBA CA=BM

∴△CAN≌△MBA．（SAS）
∴AM=AN，∠BMA=∠N．
∵CF⊥AF，∴∠N+∠FAN=90°．
∴∠BAM+∠FAN=90°，
∴∠NAM=90°，
即 AM⊥AN．

點評：此題考查了兩個基本作圖及全等三角形的判定與性質，綜合性較強．