Question

如圖，兩個同心圓的圓心是O，大圓的半徑為13，小圓的半徑為5，AD是大圓的直徑．大圓的弦AB，BE分別與小圓相切于點C，F．AD，BE相交于點G，連接BD．
（1）求BD的長；
（2）求∠ABE+2∠D的度數；
（3）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，BD，AE，根據OC∥BD，OC為△ABD的中位線，可知：BD=2OC，得BD的長；
（2）連接AE，根據切線長定理知：AB=EB，可得：∠BAE=∠BEA；根據圓周角相等，得：∠D=∠AEB，可將∠ABE+2∠D的值求出；
（3）根據△BGO∽△AGB，可將的值求出．
解答：解：（1）連接OC，BD，
∵AB是小圓的切線，C是切點，
∴OC⊥AB，
∴C是AB的中點．
∵AD是大圓的直徑，
∴O是AD的中點．
∴OC是△ABD的中位線．
∴BD=2OC=10．

（2）連接AE．
由（1）知C是AB的中點．
同理F是BE的中點．
即AB=2BC，BE=2BF，
由切線長定理得BC=BF．
∴BA=BE．
∴∠BAE=∠E．
∵∠E=∠D，
∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180°．

（3）連接BO，在Rt△OCB中，
∵OB=13，OC=5，
∴BC=12．
由（2）知∠OBG=∠OBC=∠OAC．
∵∠BGO=∠AGB，
∴△BGO∽△AGB．
∴．
點評：在解本題的過程中要用到切線長定理，中位線定理，相似三角形的判定等知識，要求學生熟練掌握和應用．