Question

【題目】裝潢公司要給邊長為6米的正方形墻面ABCD進行裝潢，設計圖案如圖所示（四周是四個全等的矩形，用材料甲進行裝潢；中心區是正方形MNPQ，用材料乙進行裝潢）．

兩種裝潢材料的成本如下表：

材料	甲	乙
價格（元/米2）	50	40

設矩形的較短邊AH的長為x米，裝潢材料的總費用為y元．

（1）MQ的長為　 　米（用含x的代數式表示）；

（2）求y關于x的函數解析式；

（3）當中心區的邊長不小于2米時，預備資金1760元購買材料一定夠用嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（6﹣2x）；（2）y＝﹣40x2+240x+1440；（3）預備資金1760元購買材料一定夠用，理由見解析

【解析】

（1）根據大正方形的邊長減去兩個小長方形的寬即可求解；
（2）根據總費用等于兩種材料的費用之和即可求解；
（3）利用二次函數的性質和最值解答即可．

解：（1）∵AH=GQ=x，AD=6，
∴MQ=6-2x；
故答案為：6-2x；

（2）根據題意，得AH＝x，AE＝6﹣x， S甲＝4S長方形AENH＝4x（6﹣x）＝24x﹣4x2，

S乙＝S正方形MNQP＝（6﹣2x）2＝36﹣24x+4x2．

∴ y＝50（24x﹣4x2）+40（36﹣24x+4x2）＝﹣40x2+240x+1440．

答：y關于x的函數解析式為y＝﹣40x2+240x+1440．

（3）預備資金1760元購買材料一定夠用．理由如下：

∵y＝﹣40x2+240x+1440＝﹣40（x－3）2+1800，

由﹣40＜0，可知拋物線開口向下，在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大．

由x－3=0可知，拋物線的對稱軸為直線x=3．

∴ 當x＜3時，y隨x的增大而增大．

∵ 中心區的邊長不小于2米，即6﹣2x≥2，解得x≤2，又x＞0，∴0＜x≤2．

當x=2時，y＝﹣40（x－3）2+1800=﹣40（2－3）2+1800=1760，

∴ 當0＜x≤2時，y≤1760．

∴ 預備資金1760元購買材料一定夠用．

答：預備資金1760元購買材料一定夠用．