Question

（2014•襄陽）如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊AB，BC上，且AE=AB，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，對于下列結論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等邊三角形．其中正確的是（ ）

A.①② B.②③ C.①③ D.①④

 

Answer 1

D

【解析】

試題分析：求出BE=2AE，根據翻折的性質可得PE=BE，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根據翻折的性質求出∠BEF=60°，根據直角三角形兩銳角互余求出∠EFB=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得EF=2BE，判斷出①正確；利用30°角的正切值求出PF=PE，判斷出②錯誤；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判斷出③錯誤；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等邊三角形，判斷出④正確．

【解析】
∵AE=AB，

∴BE=2AE，

由翻折的性質得，PE=BE，

∴∠APE=30°，

∴∠AEP=90°﹣30°=60°，

∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，

∴∠EFB=90°﹣60°=30°，

∴EF=2BE，故①正確；

∵BE=PE，

∴EF=2PE，

∵EF＞PF，

∴PF＜2PE，故②錯誤；

由翻折可知EF⊥PB，

∴∠EBQ=∠EFB=30°，

∴BE=2EQ，EF=2BE，

∴FQ=3EQ，故③錯誤；

由翻折的性質，∠EFB=∠EFP=30°，

∴∠BFP=30°+30°=60°，

∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，

∴∠PBF=∠PFB=60°，

∴△PBF是等邊三角形，故④正確；

綜上所述，結論正確的是①④．

故選：D．