Question

已知直角三角形的一直角邊長是4，以這個直角三角形的三邊為直徑作三個半圓（如圖所示），已知兩個月牙形（帶斜線的陰影圖形）的面積之和是10，那么以下四個整數中，最接近圖中兩個弓形（帶點的陰影圖形）面積之和的是（　�。�

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

分析：如圖，AC=4，S₁+S₂=10，設BC=a，利用圓的面積公式得到S₁+S₂+S₃+S₄=

1

2

π×2²+

1

2

π×

1

4

a²=2π+

π

8

a²，于是有S₃+S₄=2π+

π

8

a²-10①，再用以AB為直徑的半圓減去三角形ABC的面積得到S₃+S₄，即S₃+S₄=

1

2

π×

16+a 2

4

-

1

2

×4a=

π

8

a²+2π-2a②，有①-②得到a的方程，求出a，然后代入①即可得到兩個弓形（帶點的陰影圖形）面積之和．

解答：解：如圖，
AC=4，S₁+S₂=10，設BC=a，
∴S₁+S₂+S₃+S₄=

1

2

π×2²+

1

2

π×

1

4

a²=2π+

π

8

a²，
∴S₃+S₄=2π+

π

8

a²-10①，
又∵AB²=4²+a²=16+a²，
∴S₃+S₄=

1

2

π×

16+a 2

4

-

1

2

×4a=

π

8

a²+2π-2a②，
①-②得，2π+

π

8

a²-10=

π

8

a²+2π-2a，解得a=5，
∴S₃+S₄=2π+

π

8

a²-10=2π+

π

8

×25-10≈6.1，
即最接近圖中兩個弓形（帶點的陰影圖形）面積之和的是6．
故選A．

點評：本題考查了圓的面積公式：S=πR²．也考查了不規則圖形的面積的求法，即轉化為規則的幾何圖形的面積的和或差來解決．