Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D是AC的中點，E是線段BC延長線上一動點，過點A作AF∥BE，與線段ED的延長線交于點F，連接AE、CF．
（1）求證：AF=CE；
（2）若CE=

1

2

BC，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結論；
（3）若CE=BC，求證：EF⊥AC．

Answer 1

分析：（1）判斷出△ADF≌△CDE，即可得出結論；
（2）利用等邊三角形的性質及（1）的結論證明AC=EF，繼而可得出結論．
（3）判斷四邊形AFCE是菱形，繼而可得出結論．

解答：（1）證明：∵AF∥BE，
∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，
在△ADF和△CDE中，

∠FAD=∠ECD ∠AFD=∠CED AD=CD

，
∴△ADF≌△CDE，
∴AF=CE．

（2）四邊形AFCE是矩形．
證明：∵AF∥BE，AF=CE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．
∴AD=DC，ED=DF．
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B=30°，
∴∠ACE=60°．
∵CE=

1

2

BC，CD=

1

2

AC，
∴CE=CD，
∴△DCE為等邊三角形，
∴CD=ED，
∴AC=EF，
∴四邊形AFCE是矩形．

（3）證明：∵CE=BC，BC=AC，
∴CE=AC．
∵∠ACE=60°，
∴△ACE為等邊三角形，∴CE=AE．
∵四邊形AFCE是平行四邊形，
∴四邊形AFCE是菱形．
∴EF⊥AC．

點評：本題考查了梯形、矩形的判定及菱形的判定，涉及了全等三角形的判定及等邊三角形的性質，綜合性較強，關鍵是各個特殊圖形性質的掌握．