Question

已知：等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，動點P從點D出發沿DC以每秒1個單位向終點C運動，點Q從點C出發沿CB以每秒2個單位向B運動，當點P到達C時，點Q隨之停止運動，設點P運動的時間為t秒．
（1）求梯形ABCD面積．
（2）當PQ∥AB時，求t．
（3）當點P、Q、C三點構Rt△時，求t值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等腰梯形的性質首先得出BE=CF，AD=EF，進而得出AE=DF=4，利用梯形面積求出即可；
（2）首先得出△CQP∽△CMD，再利用相似三角形的性質得出t的值即可；
（3）分別當∠PQC=90°時，易證，△CQP∽△CND，當∠CPQ=90°時，易證△CQP∽△CDN，進而得出即可．
解答：（1）解：如圖1，分別過點A，D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F
易證BE=CF，AD=EF，
因為AB=DC=5，AD=6，BC=12，
所以AE=DF=4，
所以梯形ABCD面積=×4×（6+12）=36；

（2）由題意知：CP=5-t，CQ=2t，
如圖2，過點D作DM∥AB，
∵PQ∥AB，
∴PQ∥DM，BM=AD=6，
∴△CQP∽△CMD，
 CM=6，
∴，
∴，
∴t=；

（3）如圖3，當∠PQC=90°時，易證，
∴△CQP∽△CND，
∴，
∴，
∴t=，
如圖4，當∠CPQ=90°時，易證
∴△CQP∽△CDN，
∴，
∴，
∴t=綜上所述，當 t=或 t=時點P、Q、C三點構成RT△．
點評：此題主要考查了等腰梯形的性質以及相似三角形的判定與性質，熟練利用相似三角形的性質得出是解題關鍵．