Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，將△ABC繞著點B逆時針旋轉36°后得到△EBF，點A落在點E處，點C落在點F處，連接CF．請你畫出圖形，并按下面要求完成本題．
（1）求證四邊形BCFE是等腰梯形；
（2）求證：AF=

5 -1

2

AB．

Answer 1

分析：（1）由于旋轉得到的圖形中點B、A、F在一條直線上，∠ABC=∠EFB=36°，又EB=BA，CA=CF，則BE=CF，四邊形BCFE是等腰梯形即可得證．
（2）由（1）證明知△CFA∽△BCF，則

AF

CF

=

CF

BF

，變形得

AF

AB

=

AB

AB+AF

，則即可證得AF=

5 -1

2

AB．

解答：證明：所作圖形如下：

（1）∵△BEF由△ABC繞著點B逆時針旋轉36°得到，且∠ABC=36°．
∴點B、A、F在一條直線上，且BF=BC，AB=AC=BE=EF，
∠ABC=∠EBF=∠ACB=∠EFB=36°．
∴EF∥BC．
∵BF=BC，∠ABC=∠ACB=36°，
∴∠BFC=∠FCB=72°，∠BAC=108°．
∴∠FAC=72°．
∴AC=CF．
∴BE=CF．
∴四邊形EBCF是等腰梯形．

（2）由（1）證明知△CFA∽△BCF，

AF

CF

=

CF

BF

，
即

AF

AB

=

AB

AB+AF

．
解之：AF=

-1± 5

2

AB．
AF=

-1+ 5

2

AB．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質及等腰梯形的判定問題，要求學生能夠熟練掌握合并應用．