Question

（2013•河南模擬）如圖，在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A₁BC₁．
（1）如圖1，當點C₁在線段CA的延長線上時，求∠CC₁A₁的度數；
（2）如圖2，連結AA₁，CC₁．若△ABA₁的面積為4，求△CBC₁的面積．

Answer 1

分析：（1）先由旋轉的性質得出∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，再根據等邊對等角得出∠CC₁B=∠C₁CB=45°，則∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=90°；
（2）先由旋轉的性質得出△ABC≌△A₁BC₁，則BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，再根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△ABA₁∽△CBC₁，然后根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．

解答：解：（1）∵將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A₁BC₁，
∴∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°；

（2）∵△ABC≌△A₁BC₁，
∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，
∴

BA

BC

=

BA1

BC1

，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，
∴∠ABA₁=∠CBC₁，
∴△ABA₁∽△CBC₁，
∴

S△ABA1

S△CBC1

=(

AB

BC

)2=(

4

5

)2=

16

25

，
∵S△ABA1=4，
∴S△CBC1=

25

4

．

點評：本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，難度適中，（2）中證明△ABA₁∽△CBC₁，是解題的關鍵．