Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點A（2，2），點B（2，-3）．試問，坐標軸上是否存在一點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）∠BAP=90°，易得P₁（0，2）；
（2）∠ABP=90°，易得P₂（0，-3）；
（3）∠BAP=90°（如圖）以AB為直徑畫⊙O′與x軸，y軸分別交于P₃、P₄、P₅、P₆，AB與x軸交于C，過點O′作O′D⊥y軸．在Rt△OO′p₃中，利用勾股定理求出P₃D，OP₃，再連接O′P₄，O′P₆，即可求出P₄，P₆的坐標．
解答：解：（1）∠BAP=90°易得P₁（0，2）；

（2）∠ABP=90°易得P₂（0，-3）；

（3）∠BAP=90°；
（如圖）以AB為直徑畫⊙O′與x軸，y軸分別交于P₃、P₄、P₅、P₆
AB與x軸交于C，過點O′作O′D⊥y軸，
在Rt△OO′p₃中易知O′D=2，O′p₃=，則P₃D==，
OP₃=P₃D-OD=-=1，則P₃（0，1）易知P₃D=P₅D，
則P₅（0，-2），連接O′P₄，O′P₆，
易求出P₄（2-，0）P₆（2+，0）
綜上所述P₁（0，2），P₂（0，-3），P₃（0，1），
P₄（2-，0），P₅（0，-2），P₆（2+，0）．

點評：此題主要考查學生對勾股定理和坐標與圖形性質的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于中檔題．