Question

某健身器材銷售公司通過當地“紅十字會”向偏遠山區孩子提供免費的“愛心早餐”，捐出了五月份全部銷售利潤．已知該公司五月份只售出甲、乙、丙三種型號器材若干臺，每種型號器材不少于8臺，五月份支出包括這三種器材進貨款64萬元和其他各項支出（含人員工資和雜項開支）3.8萬元，這三種器材的進價和售價如下表，人員工資y₁（萬元）和雜項支出y₂（萬元）分別與總銷售量（臺）成一次函數關系如圖．

型號	甲	乙	丙
進價（萬元/臺）	0.9	1.2	1.1
售價（萬元/臺）	1.2	1.6	1.3

（1）求y₁ 與x的函數解析式；
（2）求五月份該公司的總銷售量；
（3）設公司五月份售出甲種型號器材t臺，乙種型號器材m臺，求m與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（4）設公司五月份售出甲種型號器材t臺，五月份總銷售利潤W（萬元），求W與t的函數關系式（銷售利潤=銷售額-進價-其它各項支出）；
（5）請推測該公司這次向偏遠山區捐款金額的最大值．

Answer 1

解：（1）設y₁與x的函數解析式是y₁=kx+b（k＞0），
根據題意得到 ，
解得：，
∴y₁與x的關系式為y₁=0.05x+0.2；

（2）依題意得：y₁+y₂=0.05x+0.2+0.005x+0.3=3.8，
解得：x=60，
∴五月份該公司的總銷售量為60臺；

（3）五月份售出甲種型號器材t臺，乙種型號器材m臺，則售出丙種型號器材（60-t-m）臺．
則0.9t+1.2m+1.1（60-t-m）=64
解得m=2t-20，
依題意有 ，
解得14≤t≤24，
t的取值范圍是：14≤t≤24；

（4）w=1.2t+1.6（2t-20）+1.3（60-t-2t+20）-64-3.8，
即w與t的函數關系式為：w=0.5t+4.2；

（5）∵14≤t≤24，
又∵t為正整數，
∴t最大為24，
∵w是關于t的一次函數，由（3）可知，w隨t的增大而增大．
∴當t=24（臺）時，w最大=0.5×24+4.2=16.2（萬元）
∴該公司這次向災區捐款金額的最大值為16.2萬元．
分析：（1）如圖可知，y₁與x之間的一次函數關系式，設出一次函數解析式，利用待定系數法可求出；
（2）依題意可解得y₁，y₂與x的等式關系y₁+y₂=0.05x+0.2+0.005x+0.3=3.8，再解方程即可；
（3）五月份售出甲種型號器材t臺，乙種型號器材m臺，則售出丙種型號器材（60-t-m）臺，再根據進貨款64萬元，可列出等式0.9t+1.2m+1.1（60-t-m）=64，整理可寫出m與t的函數關系式；
（4）根據銷售利潤=銷售額-進價-其它各項支出可直接寫出關系式；
（5）根據（4）可知w隨t的增大而增大，根據此可解．
點評：此題主要考查了一次函數的應用，難度較大，是函數與不等式的綜合題，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系．