Question

（2009•通州區一模）如圖，△ABE中，AB=AE，以AB為直徑作⊙O交BE于C，過C作CD⊥AE于D，DC的延長線與AB的延長線交于點P．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若AE=5，BE=6，求DC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，求證∠OCB+∠BCP=∠ECD+∠E=90°
（2）連接AC，根據直角三角形的面積公式S_△ACE=AC•CE=AE•CD求解．
解答：證明：（1）連接OC；
∵PD⊥AE于D，
∴∠DCE+∠E=90°；
∵AB=AE，OB=OC，
∴∠CBA=∠E=∠BCO；
又∵∠DCE=∠PCB，
∴∠BCO+∠PCB=90°；
∴PD是⊙O的切線．

（2）解：連接AC；
∵AB=AE=5，AB是⊙O的直徑，BE=6，
∴AC⊥BE且EC=BC=3；
∴由勾股定理知，AC=4；
∵CD⊥AE，
∴S_△ACE=AC•CE=AE•CD，
∴DC==．
點評：本題利用了等腰直角三角形的性質，直徑對的圓周角是直角，勾股定理，切線的判定與性質，直角三角形的面積公式求解等知識．解題時要注意連接過切點的半徑與構造直徑所對的圓周角是圓中的常見輔助線．