Question

已知：關于x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+k-2=0的兩個實數根是x₁和x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x₁²=11-x₂²，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+k-2=0的兩個實數根是x₁和x₂，可得k≠0且△≥0即可求出k的取值范圍，
（2）根據根與系數的關系及x₁²=11-x₂²，即可求出k的值．

解答：解：（1）∵方程有兩個實數根，
∴k≠0且△=（2k+1）²-4k（k-2）≥0，
解得：k≥-

1

12

且k≠0，
∴k的取值范圍：k≥-

1

12

且k≠0．
（2）∵一元二次方程kx²+（2k+1）x+k-2=0的兩個實數根是x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-

2k+1

k

，x₁x₂=

k-2

k

，
∵x₁²=11-x₂²，∴x₁²+x₂²=11，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=11，
∴(-

2k+1

k

)2-2（

k-2

k

）=11，
解得：k=-

1

9

或k=1，
∵k≥-

1

12

且k≠0，∴k=1．

點評：本題考查了根與系數的關系及根的判別式，難度適中，關鍵是掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反過來也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．