Question

如圖1，將斜邊長為6cm的直角三角板放置在直角坐標系中，直角頂點與原點重合，直角邊分別與x軸、y軸重合，且∠MNO=60°．將長和寬分別為6cm、2cm的直尺ABCD的長邊與直線MN重合，其中C點與N點重合（如圖2）．三角板固定不動，直尺以1cm/s的速度沿著直線MN向左上方滑動（如圖3），直到C點與M點重合為止．設移動ts后，直尺和三角板重疊部分的面積為Scm²．
求：（1）直線MN的函數(shù)關系式；
（2）S與t之間的函數(shù)關系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意斜邊長為6cm的直角三角板且∠MNO=60°，可以很容易求出M、N的坐標，根據(jù)兩點的坐標求出函數(shù)式．
（2）隨著直尺的移動會出現(xiàn)三種情況，分類討論：①重疊部分為30度角的直角三角形．②重疊部分為直角梯形．③重疊部分為五邊形．比較3種情況的最大值．

解答：解：（1）∵直角三角形的斜邊為6cm∠MND=60°
∴OM=3

3

cm  ON=3cm
∴M點坐標為（0，3

3

）  N點坐標為（3，0）
∴直線MN的函數(shù)關系式為y=-

3

x+3

3

（2）
①重疊部分為30度角的直角三角形時：
S=

1

2

×t×

3

t=

3

2

t2
當D點到x軸時不再是30度角的直角三角形，
此時t=

2 3

3

s
∴S=

3

2

t2（0≤t≤

2 3

3

）
②重疊部分為直角梯形時：S=

1

2

×(t-

2 3

3

+t)×2=2t-

2 3

3

點D到Y軸時不再是直角梯形，此時t=6-2

3

s
∴S=2t-

2 3

3

（

2 3

3

＜t≤6-2

3

）
③重疊部分為五邊形時：S=

1

2

×3×3

3

-

1

2

×(6-t)×(6-t)×

3

3

-

1

2

×(3-

4 3

3

)×(3-

4 3

3

)×

3

S=-

3

6

×(6-t)2+12-

24 3

9

C點與M點重合時，t=6
∴S=-

3

6

×(6-t)2+12-

24 3

9

（6-2

3

＜t≤6）
綜上所述，根據(jù)圖形可以看出面積總是在增大，即當t=6時面積最大，為12-

8 3

3

．

點評：本題主要考查一次函數(shù)的應用，題中要注意不同情況的不同函數(shù)以及其定義域．在圖形中滲透運動的觀點是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，在平時的訓練中要注意這方面的培養(yǎng)．