Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．
（1）如圖1，將△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合，折痕為DE．
①試求△ACD的周長；
②若∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度數．
（2）如圖2，將直角邊AC沿直線AM折疊，使點C恰好落在斜邊AB上的點N，BN=4cm，求CM的長．

Answer 1

分析：（1）利用對稱找準相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后分別利用周長及三角形的內角和可求得答案；
（2）利用折疊找著AD=BD，設CM=x，表示出BM，在直角三角形ACM中，利用勾股定理可得答案．

解答：解：（1）依題意，得：DE垂直平分AB…（1分）
∴BD=AD…（2分）
①∴△ACD的周長=AC+CD+BD=AC+CD+BD=AC+BC…（3分）
∵AC=6cm，BC=8cm
∴△ACD的周長=6+8=14cm…（4分）
②設∠CAD=4x°，則∠BAD=7x°
∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=11x°…（5分）
∵BD=AD
∴∠B=∠BAD=7x°…（6分）
∵∠C=90°
∴∠B+∠BAC=90°…（7分）
∴7x+11x=90，解得：x=5…（8分）
∴∠B=7x°=35°…（9分）

（2）依題意得：AM平分∠CAB，∠C=∠MNA=90°，AC=AN=6cm…（10分）
∴CM=MN，AB=BN+AN=4+6=10cm…（11分）
設CM=MN=xcm，則BM=BC-CM=（8-x）cm
∵S△ABM=

1

2

BM•AC=

1

2

AB•MN
∴

1

2

•(8-x)•6=

1

2

•10•x…（12分）
解得：x=3
∴CM=3cm．…（13分）

點評：本題考查了直角三角形中勾股定理的應用及圖形的翻折問題；解決翻折問題時一般要找著相等的量，然后結合有關的知識列出方程進行解答．