Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．動點P從點A出發沿AC向終點C運動，同時動點Q從點B出發沿BA向點A運動，到達A點后立刻以原來的速度沿AB返回．點P，Q運動速度均為每秒1個單位長度，當點P到達點C時停止運動，點Q也同時停止．連結PQ，設運動時間為t（t＞0）秒．
（1）在點Q從B到A的運動過程中，
①當t=$\frac{9}{8}$時，PQ⊥AC；
②求△APQ的面積S關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（2）伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為l．
①當l經過點A時，射線QP交AD于點E，求AE的長；
②當l經過點B時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）①由勾股定理求出AC，再證明△APQ∽△ABC，得出對應邊成比例，即可得出結果；
②過點P作PH⊥AB于點H，AP=t，AQ=3-t，證△AHP∽△ABC，求出PH=$\frac{4}{5}$t，根據三角形面積公式求出即可；
（2）①根據線段的垂直平分線的性質求出AP=AQ，得出3-t=t，求出即可，延長QP交AD于點E，過點Q作QO∥AD交AC于點O，證△AQO∽△ABC，求出AO，QO，PO=1，證△APE∽△OPQ求出AE即可；
②（ⅰ）當點Q從B向A運動時l經過點B，求出CP=AP=$\frac{1}{2}$AC=2.5，即可求出t；
（ⅱ）當點Q從A向B運動時l經過點B，求出BP=BQ=6-t，AP=t，PC=5-t，過點P作PG⊥CB于點G，證△PGC∽△ABC，求出PG=$\frac{3}{5}$（5-t），CG=$\frac{4}{5}$（5-t），BG=$\frac{4}{5}$t，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵PQ⊥AC，
∴∠APQ=90°=∠B，
又∵∠PAQ=∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
即$\frac{t}{3}=\frac{3-t}{5}$，
解得：t=$\frac{9}{8}$，
即t=$\frac{9}{8}$時，PQ⊥AC，
故答案為：$\frac{9}{8}$；
②如圖1所示，過點P作PH⊥AB于點H，AP=t，AQ=3-t，
則∠AHP=∠ABC=90°，
∵∠PAH=∠CAB，
∴△AHP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{PH}{BC}$，
∵AP=t，AC=5，BC=4，
∴PH=$\frac{4}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•（3-t）•$\frac{4}{5}$t，
即S=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t，t的取值范圍是：0＜t＜3．
（2）①如圖2，線段PQ的垂直平分線為l經過點A，則AP=AQ，
即3-t=t，
∴t=1.5，
∴AP=AQ=1.5；
延長QP交AD于點E，過點Q作QO∥AD交AC于點O，
則△AQO∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AC}=\frac{AQ}{AB}=\frac{QO}{BC}$，
∴AO=$\frac{AQ}{AB}$•AC=$\frac{5}{2}$，QO=$\frac{AQ}{AB}$•BC=2，
∴PO=AO-AP=1． 
∵OQ∥BC∥AD，
∴△APE∽△OPQ
∴$\frac{AE}{QO}=\frac{AP}{QP}$，
∴AE=$\frac{AP}{QP}$•QO=3．
②（ⅰ）如圖3，當點Q從B向A運動時l經過點B，
BQ=CP=AP=t，∠QBP=∠QAP
∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°
∴∠PBC=∠PCB   CP=BP=AP=t
∴CP=AP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×5=2.5∴t=2.5．   
（ⅱ）如圖4，當點Q從A向B運動時l經過點B；
BP=BQ=3-（t-3）=6-t，AP=t，PC=5-t，
過點P作PG⊥CB于點G，則PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC，
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{PG}{AB}=\frac{GC}{BC}$，
∴PG=$\frac{PC}{AC}$•AB=$\frac{3}{5}$（5-t），CG=$\frac{PC}{AC}$•BC=$\frac{4}{5}$（5-t），
∴BG=4-$\frac{4}{5}$（5-t）=$\frac{4}{5}$t，
由勾股定理得：BP²=BG²+PG²，
即（6-t）²=（$\frac{4}{5}$t）²+[$\frac{3}{5}$（5-t）]²，
解得：t=$\frac{45}{14}$；
綜上所述：存在t的值，使得直線l經過點B，t的值是2.5或$\frac{45}{14}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形性質，等腰三角形性質，線段垂直平分線性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，但是有一定的難度．