Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的動點（不與A、B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O中作內接矩形AMPN．令AM=x．

（1）用含x的代數式表示△MNP的面積S；

（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？

（3）在點M的運動過程中，設△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，求y關于x的函數關系式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

 

Answer 1

 

（1）

（2）當時，⊙O與直線BC相切

（3）8

解析:解：（1）∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC．

∴ ，即．

∴ AN＝x． 

∴．……………………………… 2分

（2）如圖2，作OD⊥BC于點D，當OD =MN時，⊙O與直線BC相切．

在Rt△ABC中，BC ==10．

由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．

∴ MN=．

過M點作ME⊥BC 于點E，

∵sinB=，∴．

∴．

∴，解得．

∴當時，⊙O與直線BC相切．   ………………… 4分

（3）隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，如圖3，連結AP，則O點為AP的中點．

∵ MN∥BC，

∴ ，即 AM=MB=4．

故分以下兩種情況討論：

① 當0＜≤4時，．

∴ 當=4時，．……………… 5分

② 當4＜＜8時，如圖4，設PM、PN分別交BC于E、F．

∵ 四邊形AMPN是矩形，  ∴ PN∥AM，PN=AM=x．

又∵ MN∥BC， ∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．

∴ FN=BM=8－x．

∴ PF=PN–FN = x -(8 - x) = 2x -8．

又△PEF∽△ACB，∴ ．

∴ ．

∴ ＝．

∵ 二次項系數，且當時，滿足4＜＜8，

∴  ．…………………………………………………………………………… 6分

綜上所述，當時，值最大，最大值是8．  …………………… 7分