Question

【題目】在矩形ABCD中,AD=3，CD=4,點E在邊CD上,且DE=1.

（1）感知：如圖①，連接AE，過點E作，交BC于點F，連接AF，易證： (不需要證明)；

（2）探究：如圖②，點P在矩形ABCD的邊AD上(點P不與點A、D重合)，連接PE，過點E ,交BC于點F，連接PF.求證： 相似;

（3）應用：如圖③，若EF交AB邊于點F， ，其他條件不變，且的面積是6，則AP的長為____.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：

（1）由已知易證∠AED=∠EFC，∠D=∠C=90°，由AD=3，CD=4結合DE=1可得AD=CE，由此即可證得△AED≌△ECF；

（2）由四邊形ABCD是矩形可得∠D=∠C=90°，結合∠PEF=90°可證得∠PED=∠EFC，由此即可證得△PDE∽△ECF；

（3）過點F作FH⊥CD于點H，易得四邊形AFHD是矩形，由此可得FH=AD=3，由（2）可得△PDE∽△EHF，由此結合已知條件可證得EF=3PE，結合S△PEF=PE·EF=6，即可解得PE=2，由此在Rt△PDE中解得PD=，從而可得AP=AD-PD=.

試題解析：

（1）∵四邊形ABCD是矩形，EF⊥AE，

∴∠C=∠D=∠AEF=90°，

∴∠DAE+∠AED=90°，∠AED+∠CEF=90°，

∴∠DAE=∠CEF，

∵CD=4，DE=1，AD=3，

∴EC=CD-DE=3=AD，

∴△ADE≌△ECF；

（2）同（1）可得：∠D=∠C，∠DPE=∠CEF，

∴△PDE∽△ECF；

（3）如圖3，在矩形ABCD中，過點F作FH⊥CD于點H，

∴∠PHD=∠A=∠D=90°，

∴四邊形AFHD是矩形，

∴FH=AD=3，

由（2）可得△PDE∽△EHF，

∴，

∵DE=1，

∴，即EF=3PE，

∵S△PEF=PE·EF=6，

∴3PE2=12，解得PE=2，

∴在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PD=，

∴AP=AD-PD=.