Question

(2004　遼寧大連)如圖所示，⊙O的直徑DF與弦AB交于點E，C為⊙O外一點，CB⊥AB，G是直線CD上一點，∠ADG=∠ABD．

求證：AD·CE=DE·DF．

說明：(1)如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路推導過程寫出來(要求至少寫3步)．(2)在你經歷說明(1)的過程之后，可以從下列①、②、③中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明．

①∠CDB=∠CEB．

②AD∥EC．

③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°，

Answer 1

答案：略
解析：

證明　如圖1所示，連接AF，則∠ABD=∠F． ∵∠ADG==∠ABD，∴∠ADG==∠F． ∵DF為⊙O的直徑，∴∠DAF=90=90°，         ∴∠ADF＋∠F=90=90°， ∴∠ADG＋∠ADF==∠FDG=90=90°． ∴∠DAF==∠CDE=90=90°． ∵CB⊥AB，∴∠CBE=90=90°． 取EC中點M，連接DM，BM，則DM=BM=CM=EM，即D、E、B、C在以EC為直徑的圓上． 則在圓M中，∠ABD和∠DCE都是弦DE所對的圓周角，∴∠ABD==∠DCE， 則∠DCE==∠F． △DAF∽△EDC， ∴，∴AD·CE=DE·DF． (一)沒有直接解答問題寫出探究過程． 思路1　如圖1所示，連接AF． ∵DF為⊙O的直徑，∴∠DAF=90=90°． ∴∠ADF＋∠F=90=90°． ∴∠ADG==∠ABD，∠ABD==∠F，∴∠ADG==∠F． ∴∠ADF＋∠ADC=90=90°，∴DF⊥CG． 思路2　如圖1，連接AF． ∵DF為⊙O的直徑，∴∠DAF=90=90°． ∴∠ADF＋∠F=90=90°． ∵CB⊥AB，∴∠CBD＋∠ABD=90=90°． ∵∠ABD==∠F，∴∠ADF==∠CBD． 思路3　如圖2所示，連接BF． ∵DF為⊙O的直徑，∴∠DBF=90=90°， ∴∠ABD＋∠ABF=90=90°． ∵∠ADG==∠ABD，∠ADF==∠ABF， ∴∠ADG＋∠ADF=90=90°，即∠GDF=90=90°． ∴CG切⊙O于D． 思路4　如圖3所示，連接AF． 要證AD·CE=DE·DF，需證， 需證△DAF∽△EDC， 需證∠F==∠DCE，∠ADE==∠DEC． 要證∠ADE==∠DEC，需證AD∥CE． 要證∠F==∠DCE，需證∠DCE==∠DBA． (二)選取①．如圖3所示，連接AF，則∠ABD==∠F． ∵∠ADG==∠ABD，∴∠ADG==∠F． ∵DF為⊙O的直徑，∴∠DAF=90=90°， ∴∠ADF＋∠F=90=90°， ∴∠ADG＋∠ADF==∠FDG=90=90°， ∴∠DAF==∠CDE=90=90°，∴CD是⊙O的切線． ∴∠BAD==∠BDC． ∵∠BDC==∠CEB，∴∠BAD==∠CEB． ∴AD∥EC，∴∠ADF==∠DEC， ∴△DAF∽△EDC，∴， ∴AD·CE=DE·DF． (三)選取②．如圖4所示，連接AF，BF． ∵∠ADG==∠DBA，∠ADF==∠ABF， ∴∠ADG＋∠ADF==∠DBA＋∠ABF， 即∠GDF==∠DBF． ∵DF是⊙O的直徑，∴∠DBF==∠DAF=90=90°， ∴∠GDF=90=90°，∴∠DAF==∠EDC=90=90°． ∵AD∥CE，∴∠ADE==∠DEC， ∴△ADF∽△DEC，∴， ∴AD·CE=DE·DF． (四)選取③． 證明：如圖4所示，∵DF是⊙O的直徑， ∴∠DAF=90=90°． ∵∠CDE=90=90°，∴∠DAF==∠CDE． 又∵∠ADF==∠DEC，∴△ADF∽△DEC． ∴，∴AD·CE=DE·DF．