Question

(2004　遼寧大連)如圖a所示，和內切于點P．C是上任一點(與點P不重合)．

實驗操作：將直角三角板的直角頂點放在點C上，一條直角邊經過，另一條直角邊所在直線交于點A、B，直線PA、PB分別交于點E、F，連接CE(圖b是實驗操作備用圖)．

探究：(1)你發現有什么關系？用你學過的數學知識證明你的發現；

(2)你發現線段CE、PE、BP有怎樣的比例關系？證明你的發現．

附加題：如圖c所示，若將上述問題的和由內切變為外切，其他條件不變，請你探究線段CE、PE、BF有怎樣的比例關系，并證明．

Answer 1

答案：略
解析：

解　實驗操作，圖形正確． (1)證法1　如圖所示，過P點作兩圓外公切線MN，連接EF． ∵MN為兩圓的外公切線， ∴∠NPB=∠PEF=∠A． ∴EF∥AB． 又， ∴． 又為的半徑， ∴． 證法2　如圖所示 過點P作兩圓的外公切線MN，連接CP． ∵，為的半徑， ∴AB切于C． ∴∠BCF=∠CEP． ∵MN為兩圓外公切線， ∴∠MPA=∠B=∠PCE． ∴∠CPE=∠CPB， ∴． 證法3　如圖所示 過點P作兩圓的外公切線MN，連接PC． ∵，為的半徑， ∴AB切于C． 又MN是兩圓外公切線， ∴∠MPC=∠PCA ∵∠EPC=∠MPC－∠MPE， ∠BPC=∠PCA－∠B， ∴∠EPC=∠BPC． ∴． 證法4　如圖所示，連接PC并延長交于G，連接、． ∵P為切點，則在上． ∵， ∴． 又，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴∠APG=∠BPG． ∴． 探究(2)結論：． 證法1　如圖所示，連接CF． ∵AB切于C， ∴∠BCF=∠CPB． ∵∠CPB=∠CPE， ∴∠BCF=∠CPE． ∵是四邊形ECFP的外接圓． ∴∠CFB=∠CEP． ∴△BCF∽△CPE． ∴． 又． ∴CE=CF． ∴． ∴． 證法2　如圖所示，連接CF． ∵MN是兩圓的外公切線， ∴∠MPA=∠PCB=∠B． ∵是四邊形ECFP的外接圓， ∴∠CFB=∠CEP． ∴△CBF∽△PCE． ∴． 又， ∴CE=CF． ∴． 證法3　如圖所示 連接CF． ∵EF∥AB， ∴． ∴AE·PF=PE·BF． ∵是四邊形ECFP的外接圓， ∴∠AEC=∠PFC． ∵AB切于C， ∴∠ACE=∠APC， 又∠APC=∠CPB， ∴∠ACE=∠CPB． ∴△AEC∽△CFP． ∴． ∴AE·PF=CE·CF． ∴CE·CF=PE·BF． ∵， ∴CE=CF． 又． 證法4　如圖所示，連接CF． ∵AB切于C， ∴∠PCB=∠PEC． 又∠EPC=∠CPB， ∴△PEC∽△PCB． ∴． ∴． ∵AB切于C， ∴∠BCF=∠CPB． 又∠B=∠B， ∴△CFB∽△PCB． ∴． ∴． ∴． ∵． ∴CE=CF． ∴． 附加題： 圖正確，結論：． 證法1　如圖 過點P作兩圓的內公切線MN，連接CF、EF、PC． ∵，為的半徑， ∴BC切于C． ∵MN是兩圓的內公切線， ∴∠MPE=∠EFP，∠NPA=∠B． 又∠MPE=∠NPA， ∴∠EFP＝∠B． ∴EF∥BC． ∴． ∴． ∴CE=CF． ∴∠B=∠EFP，∠EFP=∠ECP， ∴∠B=∠ECP． 又∠PEC=∠PFC， ∴△EPC∽△FCB． ∴． ∴． ∴． 證法2　如圖 過點P作兩圓的內公切線MN，連接CF、EF、CP． ∵MN是兩圓的內公切線， ∴∠MPE=∠EFB，∠NPA=∠B． ∵∠MPE=∠NPA， ∴∠EFB=∠B． ∵，是的半徑， ∴BC切于C． ∴∠PCB=∠PFC． ∵∠FEC=∠FPC=∠PCB＋∠B， ∠EFC=∠PFC＋∠EFB， ∴∠FEC=∠EFC． ∴CF=CE． 余下同證法1． 證法3　如圖，過點P作兩圓的內公切線MN，連接EF、CF、CP． ∵，是的半徑， ∴CB是的切線． ∴∠PCN=∠CPN，∠B=∠APN． ∴∠PCN＋∠B=∠CPN＋∠APN． ∴∠APC=∠CPF． 又四邊形CPEF內接于， ∴∠APC=∠EFC． 又∠CPF=∠FEC， ∴∠EFC=∠FEC． ∴CE=CF． 余下同證法1．