Question

已知：點C、A、D在同一條直線上，∠ABC=∠ADE=α，線段BD、CE交于點M．
（1）如圖1，若AB=AC，AD=AE

①問線段BD與CE有怎樣的數量關系？并說明理由；
②求∠BMC的大小（用α表示）；
（2）如圖2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，則線段BD與CE的數量關系為_________，∠BMC=_________（用α表示）；

（3）在（2）的條件下，把△ABC繞點A逆時針旋轉180°，在備用圖中作出旋轉后的圖形（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接EC并延長交BD于點M．則∠BMC=_________（用α表示）．

Answer 1

（1）①BD=CE   ②180°﹣2α    （2）BD=kCE，90°﹣α     （3）90°+α

解析試題分析：（1）如圖1．
①BD=CE，理由如下：
∵AD=AE，∠ADE=α，
∴∠AED=∠ADE=α，
∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=180°﹣2α，
同理可得：∠BAC=180°﹣2α，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，
即：∠BAD=∠CAE．
在△ABD與△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°﹣2α；
（2）如圖2．
∵AD=ED，∠ADE=α，
∴∠DAE==90°﹣α，
同理可得：∠BAC=90°﹣α，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，
即：∠BAD=∠CAE．
∵AB=kAC，AD=kAE，
∴AB：AC=AD：AE=k．
在△ABD與△ACE中，
∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，
∴△ABD∽△ACE，
∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，
∴BD=kCE；
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°﹣α．
故答案為：BD=kCE，90°﹣α；
（3）如圖．

∵AD=ED，∠ADE=α，
∴∠DAE=∠AED==90°﹣α，
同理可得：∠BAC=90°﹣α，
∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE．
∵AB=kAC，AD=kAE，
∴AB：AC=AD：AE=k．
在△ABD與△ACE中，
∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α，
∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90°﹣α+α=90°+α．
故答案為：90°+α．
考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；作圖-旋轉變換．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的外角的性質，相似三角形的判定與性質，作圖﹣旋轉變換，綜合性較強，有一定難度．由于全等是相似的特殊情況，所以做第二問可以借助第一問的思路及方法，做第三問又可以遵照第二問的做法，本題三問由淺入深，層層遞進，做好第一問是關鍵．