Question

【題目】綜合與探究

如圖，已知拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．其頂點為D，對稱軸是直線l，且與x軸交于點H．

（1）求點A，B，C，D的坐標；

（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的﹣個動點，求△PBC周長的最小值；

（3）若點E是線段AC上的一個動點（E與A．C不重合），過點E作x軸的垂線，與拋物線交于點F，與x軸交于點G．則在點E運動的過程中，是否存在EF＝2EG？若存在，求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A坐標為（﹣3，0），點B坐標為（﹣1，0）．點C坐標為（0，3）．點D坐標為（﹣1，4）；（2）△PBC周長的最小值為；（3）存在點E（﹣2，1），使得EF＝2EG．

【解析】

（1）當y=0時，-x2-2x+3=0，求得：點A坐標為（-3，0），點B坐標為（-1，0）；令x=0，求得C坐標為（0，3）；化為頂點式即可求得點D的坐標；

（2）△PBC的周長為PB+PC+BC，BC為定值，當PB+PC最小時，△PBC的周長最小．即可求解；

（3）設點E坐標為（x，x+3），點F（x，-x2-2x+3），則EF=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x，EG=x+3，即可求解．

（1）當y＝0時，﹣x2﹣2x+3＝0，

解得x1＝﹣3，x2＝1，∴點A坐標為（﹣3，0），點B坐標為（﹣1，0）．

當x＝0時，y＝3，∴點C坐標為（0，3）．

∵y＝﹣（x+1）2+4

∴點D坐標為（﹣1，4）；

（2）△PBC的周長為PB+PC+BC，

∵BC為定值，∴當PB+PC最小時，△PBC的周長最小．

∵點A，點B關于拋物線的對稱軸l對稱，

∴連接AC，交l于點P，點P即為所求的點．

∵AP＝BP，∴PB+PC+BC＝AC+BC．

∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），C（0，3），

∴AC＝，BC＝，

∴△PBC周長的最小值為；

（3）設直線AC的解析式為y＝kx+b，得．

解得k＝1，b＝3．

∴直線AC的解析式為y＝x+3．

設點E坐標為（x，x+3），點F（x，﹣x2﹣2x+3），

則EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，EG＝x+3．

當EF＝2EG時，有﹣x2﹣3x＝2（x+3）．

解得x1＝﹣2，x2＝﹣3（舍去）

當x＝﹣2時，點E坐標為（﹣2，1）．

∴存在點E（﹣2，1），使得EF＝2EG．