Question

【題目】已知關于x的方程

（1）求證：無論k為何值，方程總有實數根；

（2）若等腰△ABC的一邊長為2，另兩邊的長為這個方程的兩個實數根，求△ABC的周長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5；

【解析】

（1）先計算△，化簡得到△=（k-2）2，易得△≥0，然后根據△的意義即可得到結論；

（2）利用求根公式計算出方程的兩根x1=k-1，x2=1，則可設b=k-1，c=2，然后討論：當2為腰；當1為腰，分別求出邊長，但要滿足三角形三邊的關系，最后計算周長．

(1)證明：△=k24×1×(k1)=k24k+4=(k2)2

∵無論k取什么實數值,(k2)20，

∴△0，

∴無論k取什么實數值，方程總有實數根；

(2)∵x=，

∴x1=k1,x2=1，

∵兩邊恰好是這個方程的兩個實數根，

當2為腰，則k1=2，解得k=3，此時三角形的周長=2+2+1=5；

當1為腰時，k1=1，k=2，此時1+1=2，故此種情況不存在.

綜上所述，△ABC的周長為5.