Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．點O是AC的中點，過點O的直線m從與AC重合的位置開始，繞點O作逆時針旋轉，交AB于點D．過點C作CE∥AB交直線m于點E，設直線m的旋轉角為α．
（1）求證：CE=AD；
（2）當α等于多少度時，四邊形EDBC為菱形，并說明理由；
（3）當α=______度時，四邊形ADCE是矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點O是AC的中點得OA=OC，由CE∥AB得∠A=∠ECO=30°，根據“ASA”可判斷△AOD≌△COE，則CE=AD；
（2）由于∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，則∠A=30°，AB=4，由（1）得到EC∥AD且EC=AD，所以EC=BD時，即BD=2，四邊形EDBC為平行四邊形，加上BC=BD，于是可得到四邊形EDBC為菱形，則∠AOD=∠ACB=90°；
（3）由于四邊形ADCE是平行四邊形，則當AC=DE時，四邊形ADCE是矩形，即OA=OD，而∠A=30°，則∠AOD=120°．
解答：（1）證明：∵點O是AC的中點，
∴OA=OC，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠ECO=30°，
∵在△AOD和△COE中
，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴CE=AD；

（2）解：α等于90度時，四邊形EDBC為菱形．理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，
∴AB=4，
∵EC∥AD且EC=AD，
當EC=BD時，即BD=2，四邊形EDBC為平行四邊形，
∵BC=BD，
∴四邊形EDBC為菱形，
此時∠AOD=∠ACB=90°，
∴α=90°時，四邊形EDBC為菱形；

（3）解：∵四邊形ADCE是平行四邊形，
∴當AC=DE時，四邊形ADCE是矩形，
即OA=OD，
而∠A=30°，
∴∠AOD=120°，
∴旋轉角為α=120°時，四邊形ADCE是矩形．
故答案為120．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了三角形全等的判定與性質、含30度的直角三角形三邊的關系以及菱形和矩形的判定．