Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=10，AB=3，BC=14，點E、F分別在BC、DC上，將梯形ABCD沿直線EF折疊，使點C落在AD上一點C'，再沿C'G折疊四邊形C'ABE，使AC'與C'E重合，且C'A過點E．
（1）試證明C'G∥EF；
（2）若點A'與點E重合，求此時圖形重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由折疊知：∠1=∠C′EC，∠2=∠AC′E，即可證得：AD∥BC，然后由平行線的性質與判定，即可證得：C′G∥EF；
（2）首先過C′作C′H⊥BC于H，設AC′=C′A′=A′C=x，則由勾股定理即可求得x的值，又由C′D=A′C，C′D∥A′C，可證得四邊形C′A′CD是菱形，則可得：此時圖形重疊部分的面積=平行四邊形C′GA′D的面積=GA′•C′H，則問題得解．
解答：解：（1）由折疊知：∠1=∠C′EC，∠2=∠AC′E；
∵AD∥BC，
∴∠C′EC=∠AC′E，
∴∠1=∠2，
∴C′G∥EF；

（2）過C′作C′H⊥BC于H，設AC′=C′A′=A′C=x，則A′H=14-2x，
∴x²=3²+（14-2x）²，
解得：x₁=5，x₂=＞7（舍去），
∴AC′=C′A′=A′C=5，C′D=5；
∴C′D=A′C，C′D∥A′C，
∴四邊形C′A′CD是菱形，
∴點F與點D重合，
∵∠AC′G=∠A′C′G，∠A′GC′=∠AC′G，
∴∠A′GC′=∠A′C′G，
∴A′G=A′C′=5，
∴此時圖形重疊部分的面積=平行四邊形C′GA′D的面積=GA′•C′H=15．

點評：此題考查了平行線的判定與性質，菱形的判定與性質，以及折疊的性質等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合與方程思想的應用．