Question

如圖，圖①中圓與正方形各邊都相切，設這個圓的周長為C₁；圖②中的四個圓的半徑相等，并依次外切，且與正方形的邊相切，設這四個圓的周長為C₂；圖③中的九個圓的半徑相等，并依次外切，且與正方形的邊相切，設這九個圓的周長為C₃；…，依次規律，當正方形邊長為2時，則C₁+C₂+C₃+…C₉₉+C₁₀₀=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據圓的周長公式求出C₁=2π×1，C₂=2π×2；，C₃=2π×3；推出C₁₀₀=2π×100，代入C₁+C₂+C₃+…+C₉₉+C₁₀₀，得出2π×1+2π×2+2π×3+2π×4+…+2π×99+2π×100，求出即可．
解答：解：C₁=2π××2=2π=2π×1；
C₂=2π×××2×4=4π=2π×2；
C₃=2π×××2×9=6π=2π×3；
C₄=2π×××2×16=8π=2π×4；
…
C₁₀₀=2π×100=200π，
∴C₁+C₂+C₃+…+C₉₉+C₁₀₀
=2π×1+2π×2+2π×3+2π×4+…+2π×99+2π×100
=2π（1+2+3+4+…+99+100）
=10100π．
故答案為：10100π．
點評：本題考查了相切兩圓的性質和圖形的變化類的應用，關鍵是根據求出的結果得出規律（C_n=2π×n），題型較好，有一點難度．