Question

如圖1，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓的內壁逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點．那么，當小圓這樣滾過大圓內壁的一周時，請將點M、N在大圓內運動所形成的痕跡繪制在圖2中．

Answer 1

分析：根據已知中直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點．我們分析滾動過程中，M，N的位置與大圓及大圓圓心的重合次數，及點M，N運動的規律，進而得出答案．

解答：解：如圖1所示：
由題意可知，小圓O₁總與大圓O相內切，且小圓O₁總經過大圓的圓心O．
設某時刻兩圓相切于點A，此時動點M所處位置為點M′，則大圓圓弧

AM

與小圓點M轉過的圓弧相等．
以切點A在如圖上運動為例，記直線OM與此時小圓O₁的交點為M₁，記∠AOM=θ，則∠OM₁O₁=∠M₁OO₁=θ，
故∠M₁O₁A=∠M₁OO₁+∠OM₁O₁=2θ．
大圓圓弧

MA

的長為l₁=θ×1=θ，小圓圓弧

AM1

的長為l₂=2θ×

1

2

=θ，即l₁=l₂，
∴小圓的兩段圓弧

AM1

與圓弧

AM′

長相等，故點M₁與點M′重合，
即動點M在線段MO上運動，同理可知，此時點N在線段OB上運動．
點A在其他象限類似可得，M、N的軌跡為相互垂直的線段．
點M、N在大圓內運動所形成的痕跡繪制在圖2中，如圖所示．

點評：本題考查的知識點是函數的圖象與圖象變化，其中分析出M，N的位置與大圓及大圓圓心的重合次數，以及點M轉過的弧長與切點轉過的弧長相等是解答本題的關鍵．