Question

【題目】四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，連結AC、BD，且DA＝DB．

(1)如圖1，∠ADB＝60°．求證：AC＝CD＋CB．

(2)如圖2，∠ADB＝90°．

①求證：AC＝CD＋CB．

②如圖3，延長AD、BC交于點P，且DC＝CB，探究線段BD與DP的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①AC ＝CD ＋CB，理由見解析；②BD＝2DP，理由見解析

【解析】

（1）在AC上截取AF＝BC，連結DF，可證△DAF≌△DBC，然后證明△DFC是等邊三角形，即可得到AC＝CD＋CB；

（2）在AC上截取AF＝BC，連結DF，可證△DAF≌△DBC，然后得到△DFC是等腰直角三角形，得到FC ＝DC，即可得到結論；

（3）過點D作DF⊥AC于點F，可證△CFD是等腰直角三角形，結合DC＝CB，然后得到DF=CB，可證△DFE≌△CBE，得到DE＝BE＝BD，然后證明△ADE≌△BDP，即可得到結論成立.

解：（1）如圖1，證明：在AC上截取AF＝BC，連結DF．

在△DAF與△DBC中，

∴△DAF≌△DBC(SAS)，

∴DF＝DC，∠CDB＝∠ADF，

∵∠CDF＝∠CDB ＋∠EDF＝∠ADF ＋∠EDF＝∠ADB＝60，

∴△DFC為正三角形，

∴DC＝FC，

∴AC＝AF ＋FC＝BC ＋CD．

（2）①AC ＝CD ＋CB．

理由：如圖2，在AC上截取AF＝BC，連結DF．

在△DAF與△DBC中，

∴△DAF≌△DBC(SAS)，

∴DF＝DC，∠CDB＝∠ADF，

∵∠CDF＝∠CDB ＋∠EDF＝∠ADF ＋∠EDF＝∠ADB＝90，

∴△DFC為等腰直角三角形，

∴FC ＝DC，

∴AC＝AF ＋FC＝CD ＋CB．

②BD＝2DP．

理由：如圖3，過點D作DF⊥AC于點F，

∵∠ACD＝∠ABD＝45°，

∴△CFD是等腰直角三角形，

∴CD＝DF，

∵CD＝CB，

∴DF＝CB，

在△DFE和△CBE中，

，

∴△DFE≌△CBE(AAS)，

∴DE＝BE＝BD，

在△ADE和△BDP中，

，

∴△ADE≌△BDP(ASA)，

∴DP＝DE＝BE＝BD，

∴BD＝2DP．