Question

如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE．
①求證：CE=CF；
②在圖①中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE、BE、GD有何關系？證明你的結論；
③運用①②解答中所積累的經驗和知識，完成下題．如圖②在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD）∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，求DE長．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，可證出△BCE≌△DCF（SAS），即CE=CF．
（2）借助（1）的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因為CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD．
（3）過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，先證四邊形ABCG是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）．
再設DE=x，利用（1）、（2）的結論，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF=90°，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE=CF；                                        

（2）解：GE=BE+GD，
理由：∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD，
即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠ECF-∠ECG=45°，
∵在△GEC和△GFC中

CE=CF ∠GCF=∠GCE GC=GC

，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴EG=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD；                      

（3）解：過C作CG⊥AD于G，
在直角梯形ABCD中∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，∠CGA=90°，AB=BC，
∴四邊形ABCG為正方形，
∴AG=BC=12，
∵∠DCE=45°，由①②可得ED=BE+DG，
設DE=x，則DG=x-4，
∴AD=16-x
在Rt△AED中，∵DE²=AD²+AE²，∴x²=（16-x）²+8²
∴x=10，
即DE=10．

點評：本題是一道幾何綜合題，內容涉及三角形的全等、圖形的旋轉以及勾股定理的應用，重點考查學生的數學學習能力，是一道好題．本題的設計由淺入深，循序漸進，考慮到學生的個體差異．從閱卷的情況看，本題的得分在4-8分的學生居多．前兩個小題學生做得較好，第三小題，因為學生不懂得用前面積累的知識經驗答題，數學學習能力不強，造成本小題得分率較低．