Question

（2001•烏魯木齊）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足．求證：AC與EF互相平分．（請用兩種方法證明）

Answer 1

【答案】分析：方法一：根據平行四邊形的對角線互相平分，得到OA=OC，只需證明OE=OF．根據AAS證明△AOE≌△COF即可得到；
方法二：要證明AC與EF互相平分，連接AF，CE．只需證明四邊形AECF是平行四邊形即可．根據AE⊥BD，CF⊥BD，得到AE∥CF．根據△ABE≌△CDF，得到AE=CF．再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行證明．
解答：證明：方法一：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC．
∵∠AOE=∠COF，∠AEO=∠CFO=90°
∴△AEO≌△CFO
∴OE=OF，即AC與EF互相平分．

方法二：連接AF，CE．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF．
又∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF．
∴AE=CF．
又AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∴AC與EF互相平分．
點評：本題綜合運用平行四邊形的性質和全等三角形的性質和判定，運用平行四邊形的性質解決以下問題，如求角的度數、線段的長度，證明角相等或互補，證明線段相等或倍分等．