Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，P為AB上一點，且點P不與點A重合，過P作PE⊥AB交AC邊于點E，點E不與點C重合，若AB=10，AC=8，設AP的長為x，四邊形PECB周長為y．
（1）求證：△APE∽△ACB；
（2）寫出y與x的函數關系式，并在直角坐標系中畫出圖象．

Answer 1

【答案】分析：（1）可證明△APE和△ACB都是直角三角形，還有一個公共角，從而得出△APE∽△ACB；
（2）由勾股定理得出BC，再由相似，求出PE=x，，即可得出y與x的函數關系式，確定自變量的取值范圍，再畫出圖象．
解答：證明：（1）∵PE⊥AB，
∴∠APE=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠APE=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△APE∽△ACB；

（2）解：在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
∴BC=，
由（1）可知，△APE∽△ACB
∴，
∵AP=x，
∴PE=x，，
∴=，
過點C作CF⊥AB于F，依題意可得：
•CF•10=×8×6，
∴CF=4.8，
∴x＜4.8，
解得：x＜6.4，
∴0＜x＜6.4（當x≥6.4時不能構成四邊形PECB），
∴y與x的函數關系式為：y=24-x（0＜x＜6.4）y與x的函數圖象如圖．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、一次函數的圖象以及列函數解析式，是中檔題，難度不大．