Question

如圖，矩形OABC邊長OA、OC分別為12cm和6cm，點A、C分別在y軸和x軸上，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B，且18a+c=0．
（1）求拋物線的關系式．
（2）①若點P從A向B移動，速度是1cm/s，同時點Q從B向C移動，速度是2cm/s．移動t秒后，設△PBQ的面積為S，求S與t的函數關系式并寫出t的取值范圍．
②當S取最大值時，拋物線上是否存在點R，使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的對邊相等求出點A、B的坐標，把兩點的坐標代入拋物線解析式，再聯立18a+c=0，解關于a、b、c的三元一次方程組，然后即可得到拋物線的關系式；
（2）①根據速度的不同，表示出BP、BQ的長度，然后利用三角形的面積公式列式整理即可得到S與t的關系式，根據速度分別求出點P與點Q的運動時間即可得到t取值范圍；
②先根據二次函數的最大值問題求出S取最大值時的t的值，從而求出點P與點Q的坐標，再根據平行四邊形的對邊平行且相等，分QR與PB是對邊時，PR與QB是對邊時，兩種情況求出點Q的坐標，然后代入拋物線解析式進行驗證，如果點Q在拋物線上，則存在，否則不存在．

解答：解：（1）∵矩形OABC邊長OA、OC分別為12cm和6cm，
∴點A、B的坐標分別為A（0，-12），B（6，-12），
又∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B，且18a+c=0，
∴

c=-12 36a+6b+c=-12 18a+c=0

，
解得

a= 2 3 b=-4 c=-12

，
∴拋物線解析式為y=

2

3

x²-4x-12；

（2）①根據題意，PB=AB-AP=6-t，BQ=2t，
所以，S=

1

2

PB•BQ=

1

2

（6-t）×2t=-t²+6t，
即S=-t²+6t，
點P運動的時間為6÷1=6秒，
點Q運動的時間為12÷2=6秒，
所以，t的取值范圍是0＜t＜6；

②拋物線上存在點R（3，-18），使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形．
理由如下：∵S=-t²+6t=-（t-3）²+9，
∴當t=3秒時，S取最大值，
此時，PB=AB-AP=6-t=6-3=3，
BQ=2t=2×3=6，
所以，要使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形，
（i）當QR與PB是對邊時，點R的橫坐標是6+3=9，縱坐標是-（12-6）=-6，
所以點R的坐標為（9，-6），
此時

2

3

×9²-4×9-12=6≠-6，
所以點R不在拋物線上，
（ii）當PR與QB是對邊時，點R的橫坐標是3，縱坐標是-（12+6）=-18，
所以點R的坐標是（3，-18），
此時，

2

3

×3²-4×3-12=-18，
所以點R在拋物線上，
綜上所述，拋物線上存在點R（3，-18），使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：本題綜合考查了二次函數的問題，主要利用了矩形的性質，待定系數法求函數解析式，三角形的面積，二次函數的最大值問題，以及平行四邊形的性質，因為平行四邊形的對邊沒有明確，注意分情況討論求解．