Question

正方形ABCD中，P為AB邊上任一點，AE⊥DP于E，點F在DP的延長線上，且DE=EF，連接AF、BF，∠BAF的平分線交DF于G，連接GC．
（1）求證：△AEG是等腰直角三角形；
（2）求證：AG+CG=；
（3）若AB=2，P為AB的中點，求BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件可以得出∠F=∠PAE，再由直角三角形的性質兩銳角互余及角平分線的性質就可以得出2∠GAP+2∠PAE=90°，從而求出結論；
（2）如圖2，作CH⊥DP，交DP于H點，可以得出△ADE≌△DCH根據全等三角形的性質就可以得出△GHC是等腰直角三角形，由其性質就可以得出CG=GH，AG=EG，再根據線段轉化就看以得出結論；
（3）如圖3，延長DF，CB交于點K，根據正方形的性質可以得出△ADP≌△BKP，再由勾股定理就可以得出F是KG的中點，由三角形的中位線的性質就可以求出結論．
解答：（1）證明：如圖1，∵DE=EF，AE⊥DP，
∴AF=AD，
∴∠F=∠ADF，
∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，
∴∠F=∠PAE，
∵DF平分∠BAF，
∴∠FAG=∠GAP．
∵∠F+∠FAE=90°，
∴∠F+∠PAE+∠FAP=90°
∴2∠GAP+2∠PAE=90°，
即∠GAE=45°，
∴△AGE為等腰直角三角形；

（2）證明：如圖2，作CH⊥DP，交DP于H點，
∴∠DHC=90°．
∵AE⊥DP，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠DHC．
∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，
∴∠ADE=∠DCH．
∵在△ADE和△DCH中，
，
∴△ADE≌△DCH（AAS），
∴CH=DE，DH=AE=EG．
∴EH+EG=EH+HD，
即GH=ED，
∴GH=CH．
∴CG=GH．
∵AG=EG，
∴AG=DH，
∴CG+AG=GH+HD，
∴CG+AG=（GH+HD），
即CG+AG=DG；

（3）如圖3，延長DF，CB交于點K，
∵P是AB的中點，
∴AP=BP=1．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD，∠DAB=∠ABC=∠ABK=90°．
∵在△ADP和△BKP中
，
∴△ADP≌△BKP（AAS），
∴AD=KB=BC=2．
在Rt△ADP中由勾股定理，得
PD=，
∴AE=PA•AD，
∴AE=，DE=，
∴EG=，DF=，
∴FG=．
在Rt△KCD中，由勾股定理，得
KD=2，
∴KF=，
∴KF=FG，
∵KB=BC，
∴FB∥CG，BF=CG，
∴BF=•CH=AD=．
點評：本題考查了等腰三角形的性質的運用，直角三角形的性質的運用，勾股定理的運用，全等三角形的判定及性質的運用，正方形的性質的運用，三角形的中位線的判定及性質的運用，解答時合理運用全等是重點，運用三角形的中位線的性質求解是難點．