Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為lcm/s．連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜4）．

（1）當t為何值時，PQ⊥AC？

（2）設△APQ的面積為S，求S與t的函數關系式，并求出當t為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）t為時，PQ⊥AC；（2）t＝，S有最大值，最大值為．

【解析】

（1）先根據勾股定理求得AB=5，再因為∠ACB＝90°，所以當PQ⊥AC時，PQ∥BC，從而得出，由運動知，BP=t，得出AP=5-t，AQ=t，代入前面比例式建立方程即可得出結論；

（2）過點P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出＝，從而求出AB，再根據＝，，得出PH=3-t，則△AQP的面積為：AQPH=t（3-t），最后進行整理即可得出答案；

（1）∵PQ⊥AC，

∴∠AQP＝∠C＝90°，

∴PQ∥BC，

∴＝，

在Rt△ACB中，AB＝＝＝5，

∴＝，

解得t＝，

∴t為時，PQ⊥AC．

（2）如圖，作PH⊥AC于H．

∵PH∥，

∴△APH∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

∴PH＝（5﹣t），

∴S＝AQPH＝t（5﹣t）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴t＝，S有最大值，最大值為．