Question

某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD（AB＜BC）的對角線交點O旋轉（如圖①→②→③），圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．

（1）該學習小組中一名成員意外地發現：在圖①（三角板的一直角邊與OD重合）中，BN²=CD²+CN²；在圖③（三角板的一直角邊與OC重合）中，CN²=BN²+CD²．請你對這名成員在圖①和圖③中發現的結論選擇其一說明理由．
（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接DN，根據矩形得出OB=OD，根據線段垂直平分線得出BN=DN，根據勾股定理求出DN的平方，即可求出答案；
（2）延長NO交AD于點P，連接PM，MN，證△BNO≌△DPO，推出OP=ON，DP=BN，根據線段垂直平分線求出PM=MN，根據勾股定理求出即可．

解答：（1）選①，
證明：連接DN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，
∵∠DON=90°，
∴BN=DN，
∵∠BCD=90°，
∴DN²=CD²+CN²，
∴BN²=CD²+CN²；

（2）證明：延長NO交AD于點P，連接PM，MN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OD=OB，AD∥BC，
∴∠DPO=∠BNO，∠PDO=∠NBO，
在△BON和△DOP中
∵

∠NBO=∠PDO ∠BNO=∠DPO OB=OD

，
∴△BON≌△DOP（AAS），
∴ON=OP，BN=PD，
∵∠MON=90°，
∴PM=MN，
∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴PM²=PD²+DM²，MN²=CM²+CN²，
∴PD²+DM²=CM²+CN²，
∴BN²+DM²=CM²+CN²．

點評：本題考查了矩形的性質，線段垂直平分線，全等三角形的性質和判定，勾股定理等知識點的綜合運用，主要考查學生的猜想能力和推理能力，題目比較好，但是有一定的難度．