Question

【題目】用四個長為m，寬為n的相同長方形按如圖方式拼成一個正方形．

（1）根據圖形寫出一個代數恒等式：　 　；

（2）已知3m+n＝9，mn＝6，試求3m﹣n的值；

（3）若m+n＝1，求m2+n2的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）45；（3）m2+n2的最小值為．

【解析】

（1）直接用陰影正方形邊長的平方可求陰影面積，用大正方形面積減四個小長方形的面積可求陰影面積，可得等量關系；

（2）先根據完全平方公式變形，然后代入計算；

（3）由m2+n2=（1-n）2+n2=2（n-）2+≥，可求m2+n2的最小值．

（1）∵直接用陰影正方形邊長的平方可求陰影面積＝（m﹣n）2，用大正方形面積減四個小長方形的面積可求陰影面積＝（m+n）2﹣4mn，

∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；

（2）∵（3m﹣n）2＝（3m+n）2﹣6mn，

∴（3m﹣n）2＝81﹣36＝45；

（3）∵m+n＝1，

∴m＝1﹣n，

∴m2+n2＝（1﹣n）2+n2＝1+2n2﹣2n＝2（n﹣）2+≥，

∴m2+n2的最小值為．