Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，矩形ABCO，B點坐標為（4，3），拋物線y=x²+bx+c經過矩形ABCO的頂點B、C，D為BC的中點，直線AD與y軸交于E點，與拋物線y=x²+bx+c交于第四象限的F點．
（1）求該拋物線解析式與F點坐標；
（2）如圖（2），動點P從點C出發，沿線段CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；同時，動點M從點A出發，沿線段AE以每秒個單位長度的速度向終點E運動．過點P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設點P的運動時間為t秒．
①問EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果沒有，請說明理由．
②若△PMH是等腰三角形，請直接寫出此時t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的性質可求出C點的坐標，把B和C點的坐標代入y=x²+bx+c求出b和c的值即可該拋物線解析式；設直線AD的解析式為y=k₁x+b₁把A（4，0）、D（2，3）代入求出一次函數的解析式，再聯立二次函數和一次函數的解析式即可求出F點的坐標；
（2）①連接CF交x軸于H′，過H′作x軸的垂線交BC于P′，當P運動到P′，當H運動到H′時，EP+PH+HF的值最小；②過M作MN⊥OA交OA于N，再分別討論當PM=HM時，M在PH的垂直平分線上，當PH=PM時，求出符合題意的t值即可．
解答：解：（1）∵矩形ABCO，B點坐標為（4，3）
∴C點坐標為（0，3）
∵拋物線y=x²+bx+c經過矩形ABCO的頂點B、C，
∴，
解得：，
∴該拋物線解析式y=-x²+2x+3，
設直線AD的解析式為y=k₁x+b₁
∵A（4，0）、D（2，3），
∴∴，
∴，
聯立，
∵F點在第四象限，
∴F（6，-3）；
（2）①∵E（0，6），∴CE=CO，（如圖（1）），
連接CF交x軸于H′，過H′作x軸的垂線交BC于P′，當P
運動到P′，當H運動到H′時，EP+PH+HF的值最小．
設直線CF的解析式為y=k₂x+b₂
∵C（0，3）、F（6，-3），
∴，
解得：，
∴y=-x+3
當y=0時，x=3，
∴H′（3，0），
∴CP=3，∴t=3；
②如圖1過M作MN⊥OA交OA于N，
∵△AMN∽△AEO，
∴，
∴，
∴AN=t，MN=，
I如圖3，當PM=HM時，M在PH的垂直平分線上，
∴MN=PH，
∴MN=，
∴t=1；
II如圖2，當PM=HP時，MH=3，MN=，
HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中，MN²+HN²=MH²，
∴，
即25t²-64t+28=0，
解得：t₁=2（舍去），；
III如圖4，當PH=PM時，
∵PM=3，MT=，PT=BC-CP-BT=|4-2t|，
∴在Rt△PMT中，MT²+PT²=PM²，
即，
∴25t²-100t+64=0，
解得：，
綜上所述：，，1，．
點評：本題主要考查了矩形的性質、用待定系數法求一次函數和二次函數的解析式、一次函數和二次函數交點的問題、相似三角形的判定和性質以及一元二次方程的應用，題目的綜合性很強，解題的關鍵是利用數形結合進行分類討論是解決問題的關鍵，分析時注意不要漏解．