Question

已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列選項中⊙O的半徑為的是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接OE、OD，根據AC、BC分別切圓O于E、D，得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°，證出正方形OECD，設圓O的半徑是r，證△ODB∽△AEO，得出=，代入即可求出r=；設圓的半徑是x，圓切AC于E，切BC于D，且AB于F，同樣得到正方形OECD，根據a-x+b-x=c，求出x即可；設圓切AB于F，圓的半徑是y，連接OF，則△BCA∽△OFA得出=，代入求出y即可．
解答：解：A、設圓的半徑是x，圓切AC于E，切BC于D，切AB于F，如圖（1）同樣得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，則a-x+b-x=c，求出x=，故本選項錯誤；
B、設圓切AB于F，圓的半徑是y，連接OF，如圖（2），
則△BCA∽△OFA，∴=，
∴=，解得：y=，故本選項錯誤；
C、連接OE、OD，
∵AC、BC分別切圓O于E、D，
∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，
∵OE=OD，
∴四邊形OECD是正方形，
∴OE=EC=CD=OD，
設圓O的半徑是r，
∵OE∥BC，∴∠AOE=∠B，
∵∠AEO=∠ODB，
∴△ODB∽△AEO，
∴=，
=，
解得：r=，故本選項正確；
D、O點連接三個切點，從上至下一次為：OD，OE，OF；并設圓的半徑為x；
容易知道BD=BF，所以AD=BD-BA=BF-BA=a+x-c；
又∵b-x=AE=AD=a+x-c；所以x=，故本選項錯誤．
故選C．
點評：本題主要考查對正方形的性質和判定，切線的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內切圓與內心，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，能根據這些性質求出圓的半徑是解此題的關鍵．