Question

已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列圖形中⊙O與△ABC的某兩條邊或三邊所在的直線相切，則⊙O的半徑為

ab

a+b

的是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：A、由三角形的內切圓的性質，即可求得⊙O的半徑；
B、易證得△ADO∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得⊙O的半徑；
C、易證得四邊形ODCE是正方形，然后由平行線分線段成比例定理，求得⊙O的半徑；
D、易證得四邊形ODCE是正方形，利用切線長定理，由勾股定理即可求得⊙O的半徑．

解答：解：設⊙O的半徑為r，
A、∵⊙O是△ABC內切圓，
∴S_△ABC=

1

2

（a+b+c）•r=

1

2

ab，
∴r=

ab

a+b+c

；
B、如圖，連接OD，則OD=OC=r，OA=b-r，
∵AD是⊙O的切線，
∴OD⊥AB，
即∠AOD=∠C=90°，
∴△ADO∽△ACB，
∴OA：AB=OD：BC，
即（b-r）：c=r：a，
解得：r=

ab

a+c

；
C、連接OE，OD，
∵AC與BC是⊙O的切線，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，
∴∠OEB=∠ODC=∠C=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形，
∴EC=OD=r，OE∥AC，
∴OE：AC=BE：BC，
∴r：b=（a-r）：a，
∴r=

ab

a+b

；
D、解：設AC、BA、BC與⊙O的切點分別為D、F、E；連接OD、OE；
∵AC、BE是⊙O的切線，
∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°；
∴四邊形ODCE是矩形；
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形；
即OE=OD=CD=r，則AD=AF=b-r；
連接OB，OF，
由勾股定理得：BF²=OB²-OF²，BE²=OB²-OE²，
∵OB=OB，OF=OE，
∴BF=BE，
則BA+AF=BC+CE，c+b-r=a+r，即r=

c+b-a

2

．
故選C．

點評：此題考查了切線的性質、切線長定理、平行線分線段成比例定理、正方形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．