Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于點H，點D為AH上的一點，且DH=HC，連結BD并延長BD交AC于點E，連結EH．

（1）請補全圖形；

（2）直接寫出BD與AC的數量關系和位置關系；

（3）求證：∠BEH=45°．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD=AC，BD⊥AC；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意直接補全圖形；

（2）先判斷出△ABH為等腰直角三角形，進而得出△AHC≌△BHD，最后用對頂角和等量代換即可得出∠ADE+∠DAE=90°，結論得證；

（3）先利用同角或等角的余角相等得出結論即可判斷出△AHE≌△BHF，即可得出EH=FH，結論得證．

（1）補全圖形如圖1所示；

（2）BD=AC ；BD⊥AC；

（3）∵AH⊥BC于點H，∠ABC＝45°，

∴△ABH為等腰直角三角形，

∴AH＝BH，∠BAH＝45°，

在△AHC和△BHD中

，

∴△AHC≌△BHD，

∴∠1=∠2，

如圖2，過點H作HF⊥HE交BE于點F，

∴∠FHE=90°

即∠4+∠5=90°

又∵∠3+∠5=∠AHB=90°

∴∠3=∠4

在△AHE和△BHF中，

∴△AHE≌△BHF

∴EH=FH

∵∠FHE=90°

∴△FHE是等腰直角三角形

∴∠BEH=45°