Question

（2012•涼山州）對于正數x，規定 f(x)=

1

1+x

，例如：f(4)=

1

1+4

=

1

5

，f(

1

4

)=

1

1+ 1 4

=

4

5

，則f(2012)+f(2011)+…+f(2)+f(1)+f(

1

2

)+…+f(

1

2011

)+f(

1

2012

)=

2011.5

．

Answer 1

分析：當x=1時，f（1）=

1

2

；
當x=2時，f（2）=

1

3

，當x=

1

2

時，f（

1

2

）=

2

3

；
當x=3時，f（3）=

1

4

，當x=

1

3

時，f（

1

3

）=

3

4

…，
故f（2）+f（

1

2

）=1，f（3）+f（

1

3

）=1，…，所以f（n）+…+f（1）+…+f（

1

n

）=f（1）+（n-1），由此規律即可得出結論．

解答：解：∵當x=1時，f（1）=

1

2

，當x=2時，f（2）=

1

3

，當x=

1

2

時，f（

1

2

）=

2

3

；當x=3時，f（3）=

1

4

，當x=

1

3

時，f（

1

3

）=

3

4

…，
∴f（2）+f（

1

2

）=1，f（3）+f（

1

3

）=1，…，
∴f（n）+…+f（1）+…+f（

1

n

）=f（1）+（n-1），
∴f(2012)+f(2011)+…+f(2)+f(1)+f(

1

2

)+…+f(

1

2011

)+f(

1

2012

)=f（1）+（2012-1）=

1

2

+2011=2011.5．
故答案為：2011.5．

點評：本題考查的是分式的加減法，根據題意得出f（n）+f（

1

n

）=1是解答此題的關鍵．